一些导数题
Tom Student

练练手

  1. 已知函数$f(x)=(x+a)e^x,a\in\mathbb{R}.$
    (1)讨论$f(x)$在$(0,+\infty)$的单调性;
    (2)是否存在$a,x_0,x_1$,且$x_0\neq x_1$,使得曲线$y=f(x)$在$x=x_0$和$x=x_1$处有相同的切线?证明你的结论.

  2. 已知函数$f(x)=\ln x,g(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right).$
    (1)证明:当$x\geqslant1$时,$f(x)\leqslant g(x)$;
    (2)设$a,b$为正实数且$a\neq b$.
    (i)若$a^b=b^a$,证明:$\sqrt{ab}> e$;
    (ii)若$a+b=1$,证明:$a^b+b^a< \sqrt{a}+\sqrt{b}< a^a+b^b$.

  3. 已知函数$f(x)=x\ln x-ax^2+x(a\in\mathbb{R}).$
    (1)证明:曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线$l$恒过定点;
    (2)若$f(x)$有两个零点$x_1,x_2$,且$x_2>2x_1$,证明:$\sqrt{x_1^2+x_2^2}>\dfrac{4}{e}$.

  4. 已知函数$f(x)=\dfrac{a}{2}x^2-x-x\ln x(a\in \mathbb{R})$.
    (1)若$a=2$,求方程$f(x)=0$的解;
    (2)若$f(x)$有两个零点且有两个极值点,记两个极值点为$x_1,x_2$,求$a$的取值范围并证明:$f(x_1)+f(x_2)<\dfrac{1}{2e}$.

  5. 已知函数$f(x)=e^x-\dfrac{a}{x}(a\in \mathbb{R})$.
    (1)讨论函数$f(x)$零点个数;
    (2)若$|f(x)|>a\ln x-a$恒成立,求$a$的取值范围.

  6. 已知函数$f(x)=\sin x-x+ax^2,a\in\mathbb{R}.$
    (1)若曲线$y=f(x)$在$x=\pi$处的切线过原点,求$a$的值;
    (2)当$x\leqslant5$时,$f(x)\geqslant0$,求$a$的取值范围.